Szine, koszinusz, érintő: mi az? Hogyan találjuk meg a szinuszot, a koszinuszt és a tangent?

A matematika egyik szakasza, amellyelaz iskolások a legnagyobb nehézségekkel küzdenek, ez a trigonometria. Nem csoda: ahhoz, hogy szabadon elsajátíthassuk ezt a tudásterületet, szükség van a térbeli gondolkodásra, a szinuszok, a koszinuszok, a tangensek, a cotangensek képletekkel való megkeresésére, a kifejezések egyszerűsítésére és a számításokba a pi használatára. Ezenkívül képesnek kell lennie trigonometria alkalmazására a tételek igazolásában, és ez megköveteli a fejlett matematikai memóriát vagy a komplex logikai láncok létrehozásának képességét.

A trigonometria eredete

Ennek a tudománynak az ismerete a szinusz, a koszinusz és a szögeltérés meghatározásával kezdődik, de először meg kell érteni, hogy mi a trigonometria.

Történelmileg a fő tárgya ennek tanulmányozásaa matematikai tudományok szekciói jobb háromszögek voltak. A 90 fokos szög jelenléte lehetővé teszi különböző műveletek elvégzését, amelyek lehetővé teszik a vizsgált alak minden paraméterének két oldalról, sarokról vagy két sarkából és egy oldalról történő meghatározásáról. A múltban az emberek észrevették ezt a mintát, és aktívan használják az épületek, a hajózás, a csillagászat, sőt a művészetek építésében.

Kezdeti szakasz

Kezdetben az emberek beszéltek a kapcsolatrólsarkok és oldalak csak a jobb háromszögek példáján keresztül. Ezután speciális formulákat fedeztek fel, amelyek lehetővé tették a használat határainak kiterjesztését a matematika ezen ágazatának mindennapi életében.

A tanulás trigonometria az iskolában ma kezdődikjobb háromszögekből, amelyek után a megszerzett tudást a fizika hallgatói használják, és absztrakt trigonometriai egyenleteket oldanak meg, amelyekkel a felsőbb osztályokban kezdődik.

Gömb alakú trigonometria

Később, amikor a tudomány a következő szintre lépetta szinusz, a koszinusz, a tangens, a cotangent formulák a szférikus geometriában használatosak, ahol különböző szabályok érvényesek, és a szögek összege egy háromszögben mindig több mint 180 fok. Ezt a szakaszt nem tanulmányozzák az iskolában, de legalábbis azért, mert a Föld felszíne és bármely más bolygó felszíne domború, ezért minden felületi jelölés "ív alakú" lesz a háromdimenziós térben.

Fogd a földgömböt és a szálat. Csatlakoztassa a szálat a földgömb két pontjához úgy, hogy nyújtsák. Kérjük, vegye figyelembe, hogy ív alakú. A gömb geometria, amelyet a geodézia, a csillagászat és más elméleti és alkalmazott területek használnak, ilyen formákkal foglalkozik.

Jobb háromszög

Kevés tanulás a használatukróltrigonometria, térjünk vissza az alapvető trigonometriához, annak érdekében, hogy jobban megértsük, mi a szinusz, a koszinusz, a tangens, milyen számításokat lehet végrehajtani a segítségükkel és milyen képletekkel.

Az első dolog, amit meg kell értened a fogalmakrólegy jobb háromszöghez kapcsolódik. Először is, a hipotenus a 90 fokos szöggel ellentétes oldal. Ő a leghosszabb. Emlékezzünk arra, hogy a pitagorai tétel szerint számszerű értéke megegyezik a másik két oldal négyzetének összegével.

Például ha a két oldal 3 és 4 centiméter, akkor a hipotenus hossza 5 centiméter. Egyébként az ősi egyiptomiak körülbelül négy és fél ezer évvel ezelőtt tudtak erről.

A két másik oldalt, amelyek derékszöget képeznek, cathetusnak nevezik. Ráadásul nem szabad megfeledkezni arról, hogy a szögek összege háromszögben egy négyszögletes koordinátarendszerben 180 fok.

meghatározás

Végül, a geometriai alap megértése végett a szin, a koszinusz és a tangens szög definíciójára utalhat.

A szög szinusz az ellentétes láb (azaz a kívánt szöggel ellentétes oldal) aránya a hypotenuse-hez. A szög koszinusa a szomszédos láb és a hypotenuse aránya.

Ne feledje, hogy sem a szinusz, sem a koszinusz nem lehettöbb mint egy! Miért? Mivel a hypotenuse alapértelmezés szerint a jobb háromszög leghosszabb oldala. Nem számít, mennyi ideig tart a láb, rövidebb lesz a hypotenuse, ami azt jelenti, hogy arányuk mindig kevesebb lesz, mint egy. Így ha a probléma megoldása szinusz vagy koszinusz, amelynek értéke nagyobb, mint 1, keressen egy hibát a számításokban vagy az érvelésben. Ez a válasz egyértelműen rossz.

Végül a szög érintőjét az aránynak nevezzükszemben a szomszédos oldalon. Ugyanezt az eredményt kapjuk a szinusz koszinus általi elosztásával. Nézd: a képlet szerint osztjuk az oldalhosszat a hypotenuse-szel, majd a második oldal hossza és a hypotenuse szorozzuk. Így ugyanazt a kapcsolatot kapjuk, mint a tangens definíciójában.

A cotangent a szomszédos oldalon lévő oldal aránya az ellenkező oldalra. Ugyanazt az eredményt kapjuk, ha az egységet az érintővel osztjuk el.

Tehát megvizsgáltuk a szinusz, koszinusz, érintő és cotangent definícióit, és a képletekkel foglalkozhatunk.

A legegyszerűbb képletek

A trigonometria során nem lehet képlet nélkül - hogyan lehet megtalálni a szinusz, a koszinusz, a tangens, a cotangent nélkülük? De pontosan ez a probléma megoldásához szükséges.

Az első képlet, amelyet meg kell tudnia, mikor kezdődikhogy tanulmányozza a trigonometriát, azt mondja, hogy a szin és a koszin négyszögének összege megegyezik az egyszel. Ez a képlet a pitagorai tétel közvetlen következménye, de időt takarít meg, ha tudnia kell a szög értékét, nem az oldalt.

Sok diák nem emlékszik a másodikraa képlet is nagyon népszerű az iskolai problémák megoldásában: az egység összege és a szög érintkezési szögének négyszöge osztva a szög koszinusának négyzetével. Szorosan nézzük: ez ugyanaz a kijelentés, mint az első képletben, csak az identitás két oldala oszlik meg a koszinusz négyzetével. Kiderül, hogy egy egyszerű matematikai művelet a trigonometriai képletet teljesen felismerhetetlenné teszi. Ne feledje: tudni, milyen szinusz, koszinusz, érintő és cotangent, az átalakulási szabályok és néhány alap formula, bármikor bonyolultabb formulákat kaphat egy papírlapra.

A képlet kettős szöge és az érvek hozzáadása

Még két képletet tanulni,a szinusz és a koszinusz értékével társítva a szögek összegével és különbségével. Az alábbi ábrán láthatók. Vegyük észre, hogy az első esetben a szinusz és a koszinusz szorozva van mindkét esetben, és a második esetben hozzáadódik a szinusz és a koszinusz páronkénti termék.

Az érvekhez kapcsolódó képletek is társulnak.kettős szög formájában. Teljesen az előzőekből származnak - edzésként próbálják meg magukhoz vinni, figyelembe véve az alfa szöget, amely egyenlő a béta szöggel.

Végül vegye figyelembe, hogy a kettős szögű képletek átalakíthatók a szinusz, a koszinusz és az alfa tangens fokának csökkentéséhez.

elv

Az alapvető trigonometria két fő tételea szinusz tétel és a cosin tétel. Ezekkel a tételekkel könnyedén megértheted, hogyan találhatod meg a szinuszot, a koszinuszt és a tangent, és így az alak területét, az egyes oldalak méretét stb.

A Sinus-tétel szerint ennek eredményekéntosztva a háromszög mindegyik oldalának hosszát az ellenkező szög értékével, azonos számot kapunk. Ráadásul ez a szám megegyezik a körkörös sugárral, vagyis az adott háromszög minden pontját tartalmazó körrel.

A koszinus tétel összegzi a pitagorai tételt,kirajzolva minden háromszögre. Kiderült, hogy a szomszédos szög kettős koszinuszával megszorzott termékük a két oldal négyzetének összegéből megszűnik - a kapott érték egyenlő lesz a harmadik fél négyzetével. Így a pitagorai tétel a koszinus tétel különleges esete.

Figyelmeztetési hibák

Még tudva, milyen szinusz, koszinusz és érintő van,könnyű hibát követni a figyelem elterelése vagy a legegyszerűbb számítások hibája miatt. Az ilyen hibák elkerülése érdekében megvizsgáljuk a legkedveltebbeket.

Először ne fordítsa áta rendes frakciókat tizedessé tegyék a végeredmény eléréséig - a válasz is rendes frakció maradhat, hacsak az állapot másként nem rendelkezik. Az ilyen átalakulást nem lehet hibának nevezni, de ne feledjük, hogy a feladat minden szakaszában új gyökerek jelennek meg, amelyek a szerző szerint csökkenteni kell. Ebben az esetben a felesleges matematikai műveletekkel időt veszteget. Ez különösen igaz olyan értékekre, mint a három vagy kettõs gyökér, mivel minden lépésben a feladatokban találhatók. Ugyanez vonatkozik a "csúnya" számok kerekítésére is.

Ezt követően vegye figyelembe, hogy bármelyiknekA koszinus tétel alkalmazható a háromszögre, de nem a pitagorai tételre! Ha tévedésből elfelejtette levonni az oldalak duplázott termékét, szorozva a szög koszinuszával, akkor nemcsak teljesen rossz eredményt kap, hanem a téma teljességét is. Ez rosszabb, mint egy figyelmen kívül hagyott hiba.

Harmadszor, ne keverd össze a 30 és a szögek értékeit60 fok a szinuszok, koszinuszok, tangensek, cotangentumok számára. Ne feledje ezeket az értékeket, mert a 30 fokos szinusz egyenlő a 60-as koszinusz, és fordítva. Ezeket könnyen össze lehet zavarni, ezért elkerülhetetlenül hibás eredményre lesz szükség.

kérelem

Sok diák nincs sietve elkezdeni a tanulásttrigonometria, mert nem értik a gyakorlati jelentését. Mi a szinusz, koszinusz, érintő egy mérnök vagy csillagász számára? Ezek olyan fogalmak, amellyel kiszámíthatod a távoli csillagok távolságát, megjósolhatod a meteorit bukását, elküldhetsz egy kutatási szondát egy másik bolygóra. Nélkülük lehetetlen épületet felépíteni, tervezni egy autót, kiszámítani a terhelést a felszínen vagy az objektum pályáján. És ezek csak a legnyilvánvalóbb példák! Végül is, az egyik vagy másik formában alkalmazott trigonometria mindenütt, a zenétől az orvostudományig terjed.

Végezetül

Szóval, tudod, milyen szinusz, koszinusz, tangens. Számítások során felhasználhatja őket, és sikeresen megoldhatja az iskolai problémákat.

A trigonometria egész pontja lecsökken arra a tényre, hogya háromszög ismert paraméterei kiszámítják az ismeretleneket. Mindhárom paraméter hat: a három oldal hossza és a három sarkuk mérete. A feladatok minden különbsége az a tény, hogy különböző bemeneti adatokat adnak.

Hogyan találjuk meg a szinusz, a koszinusz, a tangens alapjána lábak ismert hossza vagy a hypotenuse, akkor tudod. Mivel ezek a kifejezések nem jelentenek többet, mint egy összefüggés, és a kapcsolat frakció, a trigonometriai probléma fő célja egy átlagos egyenlet vagy egy egyenletrendszer gyökereinek megtalálása. És itt segít a középiskolai matematikából.